1. 今a= 5として,さらにb=a2 を定義します. すると b= 25になります. 次に a=√ 2 とするとbはb= 2.
2. 計算コマンドと簡単化コマンドを実行すると f(x+h)−f(x)
h = 1
h (
3h−x2+ (h+x)2)
=h+ 2x+ 3 ここで=1h(
3h−x2+ (h+x)2)
をマウスで選択し,ctrlキーを押した状態でドラック コピーして式を複製します. (x+h)2だけを選択し,ctrlキーを押した状態で展開コマン ドを選択します. 同じような操作で式の計算を行ない,最後に2xh+h2+ 3hを因数分解し ます.
f(x+h)−f(x)
h =1
h
(3h−x2+ (h+x)2)
= 1 h
(3h−x2+ 2hx+h2+x2)
=1 h
(h(h+ 2x+ 3) +x2−x2)
= 1
h(h(h+ 2x+ 3)) =h+ 2x+ 3 3. 和は(f+g) (x) =f(x) +g(x)で与えられているので,
(f+g) (x) =( x2−1)
+ (3x+ 2) =x2+ 3x+ 1 となります.積は((f+g)h) (x) = ((f+g) (x)) (h(x))で与えられているので,
((f+g)h) (x) =(
x2+ 3x+ 1) ( x2+ 3x)
=x4+ 6x3+ 10x2+ 3x となります. 積の和は(f h+gh) (x) =f(x)h(x) +g(x)h(x)なので
(f h+gh) (x) =(
x2−1) (
x2+ 3x)
+ (3x+ 2)(
x2+ 3x)
=x4+ 6x3+ 10x2+ 3x
となります. k(x) =f(x) +g(x)および(f+g)◦h=k◦hと定義しているので,
((f+g)◦h) (x) = (k◦h) (x) =(
x2+ 3x)2
+ 1 + 3x2+ 9x
=x4+ 6x3+ 12x2+ 9x+ 1 となり,最後に(f◦h+g◦h) (x) = (f◦h) (x) + (g◦h) (x)なので,
(f◦h) (x) + (g◦h) (x) =(
(x2+ 3x)2
−1) +(
3x2+ 9x+ 2)
=x4+ 6x3+ 12x2+ 9x+ 1 4. 式f(x) = max(
x2−1,7−x2)
を区間定義関数に変更するために, 2つの関数の接点を探 します. x2−1 = 7−x2として解を求めるとx=−2およびx= 2となります. したがっ て区間定義関数f は次のようになります.
g(x) =
x2−1 if x <−2 7−x2 if −2≤x≤2 x2−1 if x >2
確認までにf(−5) = 24,g(−5) = 24,f(1) = 6,g(1) = 6,f(3) = 8,g(3) = 8となります. 5. ((f+g)h) (x) = ((f+g) (x)) (h(x))次の表を作成します:
n ϕ(n) n ϕ(n) n ϕ(n)
1 1 11 10 21 12
2 1 12 4 22 10
3 2 13 12 23 22
4 2 14 6 24 8
5 4 15 8 25 20
6 2 16 8 26 12
7 6 17 16 27 18
8 4 18 6 28 12
9 6 19 18 29 28
10 4 20 8 30 8
条件を満たす整数は
ϕ(4·5) = 8 = ϕ(4)ϕ(5) ϕ(4·7) = 12 = ϕ(4)ϕ(7) ϕ(3·8) = 8 = ϕ(3)ϕ(8)
5.10 練習問題の答え 133
6. 整数1≤n≤30に対するd(n)の出力は次のようになります.
n d(n) n d(n) n d(n)
1 1 11 [1,11] 21 [1,3,7,21]
2 [1,2] 12 [1,2,3,4,6,12] 22 [1,2,11,22]
3 [1,3] 13 [1,13] 23 [1,23]
4 [1,2,4] 14 [1,2,7,14] 24 [1,2,3,4,6,8,12,24]
5 [1,5] 15 [1,3,5,15] 25 [1,5,25]
6 [1,2,3,6] 16 [1,2,4,8,16] 26 [1,2,13,26]
7 [1,7] 17 [1,17] 27 [1,3,9,27]
8 [1,2,4,8] 18 [1,2,3,6,9,18] 28 [1,2,4,7,14,28]
9 [1,3,9] 19 [1,19] 29 [1,29]
10 [1,2,5,10] 20 [1,2,4,5,10,20] 30 [1,2,3,5,6,10,15,30]
d(n)には除数nが含まれることが分かります.
135
第 6 章
曲線と曲面のプロット
数式処理システムの優れた機能の一つが数式のプロット機能です. 実際,数式からプロット画像を 簡単に作成できます. 関数,数式などをプロットして具体的なイメージとして数式を理解すること ができます. 必要に応じて数式を編集し,その結果をすぐにプロットできますから,数式の変化に 応じてプロットの変化する様子を細かく確認することができます. また,複数の曲線をプロットに 順次追加することもできます. つまり,数式を単に描くという作業に加えて,実験的に数式を編集 するという試みが容易に行なえるのです. これまでにもいくつか,特徴的な関数を紹介してきまし たが,この章では実際に自分でプロットを作成する方法を学びます.
ユークリッド平面における直線と曲線の作成方法,また, 3Dユークリッド空間における直線,曲 線,曲面の作成方法について解説します. 2Dプロットサブメニューには座標として直交座標,極 座標,陰関数が用意されています. 一方,3Dプロットサブメニューには直交座標,円柱座標,球面 座標,環が用意されています. 2Dプロット, 3Dプロット,微積分サブメニューにはこれら以外に も,微積分,ベクトル,微分方程式のプロットに関するコマンドが特別に用意されています. これら の特別なプロットコマンドに関する詳細は,後の章で,関連する数式機能と一緒に解説します.